Мої наробки

ВСТУП

          Джеймс Стірлінг (J. Stirling) – шотландський математик (1692-1770), на честь якого названо формулу, ряд та числа.

          Формула Стірлінга (іноді її називають формулою Муавра-Стірлінга) – це наближена рівність у вигляді

,

або

.

Зрозуміло, що якщо ми продиференціюємо першу з цих наближених рівностей, то матимемо

.

З урахуванням цього факту отримуємо друге наведене наближення. При великих значеннях  маємо що  та .

         Цікавим представляється і той факт, що формула Стірлінга є першим членом ряду Стірлінга 

.

                           

Цей ряд є асимптотичним, і, цікавий факт, він є розбіжним для кожного конкретного значення .

         Оскільки формула

 є наслідком формули

а доведення формули

значно виходить за рамки університетського курсу, то в даній роботі ми обмежимось формулою Стірлінга у вигляді

 та обговоримо різні підходи до її доведення, її точність та застосування.

1 ДОВЕДЕННЯ ФОРМУЛИ СТІРЛІНГА

1.1 Гамма-функція

Поняття гамма-функції було введено російським математиком Леонардом Ейлером. Позначення  гамма-функції було введено Адрієном Марі Лежандром. Гамма-функціє є узагальненням факторіалу на нецілі (і навіть комплексні)значення.

 За означенням

.

При всіх дійсних значеннях  цей інтеграл є збіжним. Не складно підрахувати, що

,

.

 У загальному випадку

.

Звідси випливає, що

,

.

         Методом математичної індукції легко довести, що . Перепишемо цю формулу у вигляді

.

Це дає можливість обчислити . Тобто якщо раніше співвідношення  було зручною домовленістю, то після введення гама-функції воно стало теоремою.

         Також можна поширити поняття факторіала на нецілі числа:

.

Цей інтеграл можна знайти, наприклад в довіднику [2].

1.2 Метод перевалу

Доведення формули Стірлінга методом перевалу можна знайти в [1].

Будемо виходити з формули

.

Поглянемо на графік підінтегральної функції. Наприклад, при  матимемо наступну картину

                                     Рисунок1.1 – Графік функції

Підінтегральна функція має єдиний максимум, та при віддалені від цього максимуму швидко спадає до нуля. Таким чином значення інтегралу визначається в основному поведінкою підінтегральної функції в околі точки максимуму. Перепишемо підінтегральну функцію у вигляді

.

Тут . Максимум функції  співпадає з максимумом функції . Знайдемо цей максимум. Прирівняв похідну до нуля

.

Перевіримо, що в точці  дійсно досягається максимум. Для цього знаходимо  та обчислимо

,

.

Отже,  – точка максимуму функції .

Розкладемо функцію  в ряд Тейлора в околі точки :

.

Візьмемо  окіл точки максимуму. Замінимо невласний інтеграл власним з урахуванням властивості підінтегральної функції  

.

Зробимо заміну змінних . Матимемо

.

Скориставшись табличним інтегралом [2]

,

отримаємо остаточну формулу .

1.3 Доведення з використанням формули Валліса

Цей метод доведення взято із [3]. Будемо виходити з відомого розвинення

,

який збігається при . Підставимо замість  вираз .

.

Звідси

.

Підставимо   и врахуємо, що при цьому . Матимемо

.

Випливає подвійна нерівність

.

Після потенціювання матимемо, що

.

Введемо в розгляд послідовність                 

.

Наслідком нерівності

є той факт, що

.

             

Це означає, що послідовність  є спадною, і, вочевидь, обмеженою. За теоремою Вейєрштрасса ця послідовність має границю

.

                                     

Для знаходження  скористаємося формулою Валліса (J. Wallis)

.

                                     

Перепишемо її у вигляді

.

Тепер в цій формулі замінимо факторіали виразами

,

які є наслідками формули

.

Після спрощень будемо мати

.

Далі, оскільки , то будемо мати . З урахуванням цього можемо  записати

або

.

Формула Стірлінга доведена.

2 ЗАСТОСУВАННЯ ФОРМУЛИ СТІРЛІНГА

2.1 Доведення локальної теореми Лапласа

Локальна теорема Лапласа (або Муавра-Лапласа) стверджує, що при великих значеннях  виконується наближена рівність

.

Тут  – ймовірність  успіхів в  випробуваннях в схемі Бернуллі, ,  – ймовірність успіху в одному випробуванні, .

Доведемо це твердження.

Точний вираз для величини  має вигляд

.

Запишемо біноміальний коефіцієнт через факторіали та застосуємо формулу Стірлінга

.

З урахуванням цього отримаємо

.

Введемо величини  та . Перепишемо кожен із множників, які входять до формули :

.

        

Використавши наближену рівність , запишемо

.

        

Аналогічно знаходимо

,

.

 Згідно з законом великих чисел при  маємо , . Отже,

.

 Залишилось підставити

,

,

  в

,

.

Теорему доведено.

2.2 Асимптотична оцінка біноміальних коефіцієнтів

При аналізі комбінаторних задач та при дослідженні складності різноманітних алгоритмів часто виникають вирази, які містять факторіали, і для яких потрібно отримати наближені, але більш прості формули. В цьому випадку основним інструментом є формула Стірлінга. Розглянемо середній біноміальний коефіцієнт

.

Спробуємо з’ясувати, як швидко він зростає з ростом . Для цього застосуємо формулу Стірлінга.

.

Отже, маємо наближену формулу   

.

Наприклад, при  ліва частина формули  дає 184756, а права 187078,97. Відносна похибка складає 1,24%. При  ліва частина формули дає 137846528820, а права приблизно 138710677319,05. Відносна похибка складає 0,62%.

         Узагальнимо формулу

  ,

 для чого розглянемо коефіцієнт  при натуральному . Введемо позначення .

.

Таким чином, ми довели, що

.

                  

При  формула

  перетворюється в

 При  маємо оцінку

.

При  ліва частина формули  дає 4191844505805495, а права приблизно 4212269545366133,45. Відносна похибка складає 0,49%.

2.3 Обчислення границь

Формула Стірлінга може бути корисною і при дослідженні збіжності числових рядів за допомогою радикальної ознаки Коші [5]. Якщо задано ряд з додатними членами  і існує границя ,то при  ряд є збіжним, а при  ряд розбігається.

Як правило, якщо загальна формула для  містить факторіали, то зручніше використовувати ознаку Даламбера [5], при використання якої потрібно шукати границю

.

Справа в тому, що зазвичай факторіали скорочуються, і обчислювати границю  легше, ніж границю .

Але зустрічаються і виключення. В якості приклада розглянемо ряд

.

Тут . Не всі члени ряду є додатними числами, тому розглянемо ряд, складений із абсолютних значень членів заданого ряду:

, де .

Обчислимо

.

Ця границя не існує, але оскільки , а , то можемо зробити висновок, що . З цього випливає, що ряд із абсолютних значень є збіжним, і, відповідно, заданий ряд є абсолютно збіжним.

ВИСНОВКИ

У роботі розглянуто формулу Стірлінга, яка дозволяє отримати наближені асимптотичні формули для факторіала числа.

Розглянуто два підходи до доведення цієї формули. Перший з них основний на використанні гамма-функції. При цьому невласний інтеграл замінюється власним інтегралом в околі точку максимуму підінтегральної функції (так званий метод перевалу).

При другому підході на основані формули Тейлора для функції  отримано деякі допоміжні нерівності. Ці нерівності використані для доведення збіжності спеціально подібної послідовності. З аналізу цього факту робиться висновок про загальній вигляд формули Стірлінга, а невідомий коефіцієнт обчислюється за допомогою формули Валліса.

У другій часті роботи розглянуто три задачі, для розв’язання яких зручно використовувати формулу Стірлінга.

Перша (теоретична задача) – доведення локальної теоремі Лапласа з курсу теорії ймовірностей. Друга задача – оцінка швидкості росту біноміальних коефіцієнтів. Для перевірки отриманих результатів було здійснено чисельну перевірку отриманих наближених формул. Третя задача – дослідження збіжності числових рядів за допомогою радикальної ознаки Коші.

Під час написання роботи я ознайомилася з новим для мене матеріалом і ще раз побачила, як тісно взаємозв’язані різні розділи математики.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

          1. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. – М.:Наука,1–979. – 320 с.

2. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: Наука, Гос. изд. физ.-мат. лит., 1966. – 228 с. 

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Фіз.-мат., 2001. – 810 с.

4.  Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшее образование, 2005. – 193 с.

5.  Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М.: Дрофа, 2004. –720 с.